이항 분포표(Binomial Distribution)(Feat. 거대한 표, 확률 분포)

예시를 하나 들자

주사위를 무려 1만번 던졌을 때, "1이 나온 횟수"를 X라고 했을 때, E(X), V(X), 시그마(X)를 구해보자. 

확률 분포표를 그려보자. 

확률 변수(X)의 범위는 0 , 1, 2 , 3, 4, 5, ........9999, 10000이고, 그에 따른 P 값은 각각 10000_C_0 * (1/6)^0 * (6/5)^10000

, 10000_C_1 * (1/6)^1 * (6/5)^9999, 10000_C_2 * (1/6)^2 * (6/5)^9998 ........... 10000_C_10000 * (1/6)^10000 * (6/5)^0

(참고로, 위 확률은 독립 시행임에 유의하자)

이건 계산량이 많은 거대한 표(비공식 용어)이다.

이걸 확률 분포표를 그려서 E(X), V(X), 시그마(X)를 구한다는 것은 매우 비현실적이다.

이러한 거대한 표를 그리지 않고도, X값(=72)과 주사위를 1번 던졌을 떄의 1이 나올 확률(=1/6)만으로 E(X),V(X),시그마(X)

를 구할 수가 있다면??

이항 분포(Binomial Distribution)을 이용하면 가능하다. 

위 예시의 경우, 거대한 표를 B(10000  ,1/6)으로 압축해서 표현이 가능하다. 

B(10000, 1/6)에서 10000는 X의 범위를 뜻한다. 즉, 10000 == [0 <= X <= 10000]이다.

B( 10000  , 1/6)에서 1/6은 각 X에 대한 P를 구할 때 이용된다. 

만약 X = 10인 경우, 10000_C_10 * (1/6)^10 * (1/6)^10000-10이다.

자, 그럼 본론인 E(X),V(X),시그마(X)을 구해보자!

E(X) = 10000 * 1/6

V(X) = 10000 * 1/6 * (1 - 1/6)

시그마(X) = V(X)의 루트값

(이거에 대한 증명은 너무나 복잡하여, 고등학교 과정에서도 생략을 함)

 

정리

나온 횟수(n)가 너무 많아서 거대한 표가 형성이 될 때, 이 표를 생성하기에 너무 많은 계산량이 필요로 하니, 

B(n,p)와 같이 거대한 표를 압축한 것이 이항 분포(Binomial Distribution)이다. 

( n은 무조건 나온 횟수여야 하며, 따라서 각각의 확률(p)는 독립 시행이다.)

 

B(n,p)의 특성

E(X) = n * p

V(X) = n * p * q(= 1 - p)